我的2022
山穷水复疑无路，柳暗花明又一村。——记我的2022
逝者如斯夫，不舍昼夜。转眼间2022即将过去，令人感慨万分。这是新冠肺炎疫情的第三年，也是最令人压抑的一年，这一年做的核酸数量相当于之前加起来的数十倍，今年大家状态都很低迷，不过近几天有所好转。
这也是我正式打算选代数几何为方向的第一年，之前都只是打算搞“几何”这样笼统的方向，所以2021年也主要在学一些复几何，而到了今年才正式打算大学特学代数几何。
保研复习前（1.1-4.1）
2022年的一开始，是从刚刚结束的期末考试开始。期末考试考泛函分析，微分几何，数理统计和应用数学，这一次考试成绩比较令人沮丧，除了泛函分析和应用数学，其他两门都很不尽如人意。泛函分析是因为我认真看了一个学期Salamon的书，而且老师比较仁慈所以侥幸得到97分，第二名；应用数学更是幸运，在所有人得分都不高的情况下拿到了93分，第一名，应用数学这个我感觉我有一点点卷的成分在里面，不过到后期我也懒得搞了。
至于数理统计，这是我大学生涯倒数第二不喜欢的科目（最不喜欢的是大物实验），考完试当场难绷，然后回宿舍一冲动就把教材炫(si)了，成绩也在意料之中；微分几何更是难绷，考完就发现最简单的曲线题，计算长度把$\sqrt{a^2+…+z^2}$ 没加根号，更令人难以置信的是考试竟然全部是考局部计算，而我大概一半时间在复习整体的微分几何，也就是Gauss-Bonet那一套，于是这两个重大失误（还有我能量变分没复习但是考了）导致我微分几何喜提倒数（事实上我觉得当时我已经复习的滚瓜烂熟了，但结果就是这么戏剧性），于是大三上学期就这样惨烈的结束了。
2022年的寒假，在学习上主要就是看Gortz-Wedhorn那本AG-I的后续章节，看到了第十三章射影映射的一半左右，剩下的时间在弥补我垃圾的交换代数基础——读Stacks Project的第十章的前几十个章节，还有后面选了一些章节读，总算是对交换代数有了感觉，这是好的开始，这也是归功于Stacks Project交换代数的优秀写法。但依照现在的视角来看，当时的代数几何学的程度可能很不敢恭维。
开学之后到保研复习之前是比较轻松的一段时间，除了上课之外就是读自己想读的东西。
我在这段时间结束了Gortz前13章节的学习，然后开始学习Luc. Illusie在清华的讲义(Illusie)并且读完了大部分，也基本上学会了基本的导出范畴，概形上同调，微分模和形式光滑/平展/无分歧这一套，还有外蕴方法证明的Grothendieck对偶，并且写了一个勘误(ERRATA-Illusie)，这些大概花费了一个月多一点。
之后心血来潮开始看D. Huybrechts的《Fourier-Mukai Transform in AG》，读了一半发现由于缺乏对高维代数几何基本常识的理解还有完全不懂Abel簇，我就基本上没法往下看这本书。事实上到了这个时候距离保研准备阶段已经没几天了。
保研复习到预录取（4.1-5.31）
这一段时间简直如同噩梦，属于不堪回首的时光。
首先，这一阶段一开始是给老师写套磁信，然后基本上都是一起床就是先看邮件，比较折磨。我套磁了大概三位老师（两位是中科院，一位是清华YMSC），收获了一个拒信（后来了解到给拒信的老师确实好像异常繁忙而导致不收学生）。剩下的是我现在的导师在4月中旬给了我预面试的机会，这无疑给了我极大的希望。
预面试的时候老师很和蔼且温柔，面试的内容也是代数几何的基本内容，大概就是Zariski主定理和$\mathbb{P}^1$上向量丛分类。说实话我感觉我答的很一般，我当时没怎么看Hartshorne那本书，于是我只能回答Gortz书里那个比较一般的Zariski主定理（也就是quasi-finite且separated映射的分解），事实上老师的想法无疑是那个稍微Naive但可能最常用的版本，也就是底概形正规且双有理可以推得开浸入的那个（一开始我以为是Hartshorne的版本，现在发现Hartshorne的Zariski主才是真正的Baby-Zariski主定理，也就是射影双有理推纤维连通，，简直是形式函数定理最平凡的推论，瞪眼就看出来$\mathscr{O}$-连通然后结束）。
至于$\mathbb{P}^1$上向量丛分类，除了复几何里有证明，我回答的就是Gortz书那个，把$\mathbb{P}^1$写成两个典范主开集的并，然后只需要看相交部分向量丛的形态（所以要算转换矩阵），但事实上我知道这个有上同调证明（但Gortz第一册没有任何上同调），所以我当时虽然知道思路但我根本没看这个怎么计算的，于是给糊过去了。。现在想来还是应该仔细看看的。
结束预面试之后我就延续痛苦面具模式——为了保研刷高等代数，泛函分析，复分析等的内容和习题，属于噩梦重演（然后期间被北大初审拒）。之后仿佛命运在捉弄我，在封校一个多月之后，在疫情严峻之中，5月一开始我们校区出了几个阳性病例，于是我（和我的同学们）都被拉去方舱隔离一周，这时候离我正式面试中科院近在咫尺，但不知道时间（于是我一直祈祷要不就在方舱里面面试，要么就在回学校且封寝结束之后面试，这样我起码可以找到比较正式的地方）。
不得不说，淄博人民还是很热情，大概也是我运气好，单人间方舱除了一走路就晃悠以外，其他都非常满意。特别说明里面的隔离餐，你无法想象隔离餐能豪华的如此程度，荤素搭配，水果蔬菜，甚至冰山熔岩巧克力，小零食，还有最后那一顿的淄博著名烤串，感觉吊打了学校和学校旁边的外卖。大伙从方舱出来之后全都胖了五斤，真是令人感叹。
在方舱期间中科院教务老师发了邮件通知是在结束方舱之后，但是在封寝结束之前（也就是我不幸抽到了最差时间）正式面试（面试之前还接受了清华那位老师的预面试，感觉效果也不错）。幸亏我的舍友都很好，他们直接主动跑到楼道里一上午，我很感激他们。
面试中间的效果我认为不太好。除了朗读和翻译一段英文教材里的段落之外，还抽到一道点集拓扑题，现在看来那个点集拓扑题毫无疑问是有问题的（我记得是紧空间到T2空间的连续单射是开映射，但显然只能证明闭映射，我当时就证明到闭映射，事实上反例太显然了，，但我脑子可能在那个时候僵化，愣是没发现）。之后的题目除了基础的高等代数/复分析回答了之外，还被问了一道代数几何问题（我听出来了明显是导师的声音，但我现在忘了什么题目，应该是非常具体而且不困难的题），然后当时的我基本只会抽象的Theory，这种完全没想法，于是卡了。
然后一道代数拓扑（事实上还是导师的声音，但我还是让他失望了，有点难过），证明$\mathbb{RP}^n$无法嵌入$\mathbb{R}^{n+1}$。说实话到这个时候我脑子已经乱成一坨shit，我大概这么讲：当$n$是偶数的时候，因为此时$\mathbb{RP}^n$无法定向，且是紧流形，于是成为了欧式空间的紧超曲面，这直接矛盾（因为Alexander对偶，单点紧化到球面再计算得到$\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的矛盾），能想到这个是因为之前Yau赛几何拓扑组最后一题是这个。奇数排除$n=1$之外我就蒙圈了，脑子完全停止工作，后来才知道其实可以用sw类，或者可以MV序列搞定，但这是后话了。
但导师还是把我收了，我很感激他，接下来一定努力学习！于是面试的晚上就玩了一晚上战地1。。
等到5月后期，也就是中科院发了预录取通知且等待确认的那一段时间，我没急着确认（事实上也没想跑），只是为了尊重清华的老师想等他们的面试。然而清华面试遥遥无期，然后我就在五月底给那个老师道了歉（事实上清华面试都到六月中旬和六月底了）。于是对我而言保研季就这样结束了。
至于大三下学期的期末考试，也考的一般般，主要是大伙都太卷了，有点无语。最后整个三年因为大三的原因排名跌了一名，到了7/16，绩点88出头。
保研复习到预录取（6.1-12月）
之后的日子恰好我有两位师兄在学校任教，于是找他们聊了聊天，根据他们的建议，我就开始读Hartshorne的代数几何，到暑期结束读完了前三章，做了绝大部分习题（有些题当时没搞明白，打算之后再想吧）。期间还读了Martin Olsson的《Algebraic spaces and stacks》的前十章，顺便把Hartshorne的第四章正文读完了。
我认为读和做Hartshorne这书对我的提升非常大，因为他虽然情况比较naive，但你更能从中看透本质，很多情况下读完了对应的然后返回Gortz那本书看更一般的结果就更有感觉。另外也时不时的和舍友讨论也让我学到了非常多的东西，包括查Stacks Project也会看到很多重要/有趣的结论（包括曲线都有ample线丛，曲线要不仿射要不射影这种，事实上这个我和舍友无法记住证明，但突然想起Hartshorne书里一个操作就立马明白了stacks project在干什么），因此我觉得大伙的代数几何知识可能都是从各种各样的地方来的，估计之后看文章做研究更是如此，因此还是要多交流多思考。
暑期结束之后，到了大四，其中一位师兄就自然成为了我的毕业设计导师，题目是——代数曲线的模空间（见Reading program on moduli space of curves）。事实上他给了我很多题目，其实我都比较感兴趣，所以选了其中“貌似”更感兴趣的一个。事实上从学期开始到现在，我大概把60%的时间花在这个上面，两周给师兄报告一次，其他时间读了那本Positivity的第一章，算是先知道一些高维代数几何的基础概念，例如nef,big,psedo-effective,还有相交数和各种渐进估计和Nakai-Moishizon之类的。然后花了一个月读完了Bhargav Bhatt的Abel簇的讲义(Abelian varieties)。
事实上曲线模空间的第一部分，也就是终极目标是证明$\mathscr{M}_{g,n}$是光滑的DM叠且其Deligne-Mumford紧化$\overline{\mathscr{M}}_{g,n}$是一个光滑proper的DM叠（重要步骤就是曲线的稳定约化），另外证明了（事实上给了sketch）粗模空间$\overline{M}_{g,n}$是不可约且射影的（如果看作$(Sch/\mathbb{C})$上的对象，那他就是个复射影簇）。这里我参考了Jarod Alper的讲义（见其课程主页）的前五章还有Stacks Project的108章。
（跑题一下。为什么$\mathscr{M}_{g,n}$，包括$\overline{\mathscr{M}}_{g,n}$不是概形，甚至不是代数空间？这就是因为曲线本身非平凡自同构群的原因。于是这里产生了两种思路，一是抛弃这些自同构信息，考虑“粗模空间”，其存在性是由Keel-Mori定理给出，这里Keel-Mori依赖于叠本身是DM叠——也就是说自同构群至少是有限的，这也是DM-紧化的一个等价条件；二是扩充概形范畴，且考虑这种自同构，于是就是代数叠/DM叠，这也是为什么叠是可以看作概形到群胚2-范畴的层（避免这种说法于是看作群胚纤维范畴）。）
然后看那本代数曲线几何II的大厚书，大概算读了解析侧（Teichmuller方法）前面的所有内容，然后读了Enrico Arbarello和Maurizio Cornalba关于DM叠$\mathscr{M}_{g,n}$和$\overline{\mathscr{M}}_{g,n}$的Picard群的结果，然后用Gorthendieck-Riemann-Roch算出了典范丛的表示。之后学了粗模空间$\overline{M}_{g,n}$的Kodaira维数的内容，事实上主要是看为什么$g\geq 24$的时候$\overline{M}_{g,n}$是general type的，基本思路已经非常明确且记在了我的笔记里。
事实上经过学习曲线模空间的这些内容，我不禁想想这种东西是否能推广到高维？事实上从自同构群有限才能得到DM叠，进而由Keel-Mori定理得到粗模空间的想法来看，可能考虑的高维代数簇起码是自同构群有限的那一套；然后因为要推广DM-紧化，所以你得都有一些“正性”（这是稳定曲线另一个等价条件）。
于是后来了解到，上个世纪末，肖刚证明了general type曲面自同构群有上界，然后前十几年不就许晨阳和他的合作者得到了general type的一般维数的代数簇自同构群有上界，那这样再加一点正性（log-canonical）是否就可以研究这样的模空间，且推广DM-紧化到一般维数？还真行，他们搞了semi-log-canonical的条件来推广。根据Kollar教授那本书还有C. Birkar文章的简介（我也只能看懂到这里。。）的说法，这自然是严重依赖于BCHM（也就是general type情况下的mmp）和自同构群有界。
前几天看了Birkar教授有关代数簇的模空间的报告，他在general type的基础上搞了Kodaira维数从0到general type的模空间（加不少我目前看不懂的条件）：就是被称作$(d,c,u,\sigma)$-stable minimal models的粗模空间（当时还是还记得一些这个条件，现在也忘光了），并且证明了是射影的。目前感觉对这些挺感兴趣，想学学高维的代数几何，但在学这些之前还是打算仔细学一下代数曲面（这也是师兄的建议）。
对未来几个月的展望
寒假期间除了继续曲线模空间以外，主要就是学习相交理论(Intersection Theory by William Fulton)还有代数曲面的理论（这里选择了Lucian Badescu的Algebraic Surfaces）。当然相交理论寒假肯定看不完，目前我认为大四结束前看完就算很成功；而代数曲面内容也尽量看看，在于扎实不在于快。至于Hartshorne第四五章的习题，我打算之后找时间做，现在近几个月不太想做了。相交理论其实终极目标是学习Grothendieck-Riemann-Roch，这是我很长时间都想看的东西：
（A. Grothendieck的大师手稿，摘自Vakil教授的相交理论课程主页Math 245: Intersection Theory,更新的主页(Math 245A)有一些notes，虽然是抄Fulton的书，但也有借鉴意义）翻译如下：
“Witches Kitchen 1971. Riemann-Roch Theorem: The final cry: The diagram is commutative! To give an approximate sense to the statement about $f: X\to Y$, I had to abuse the listeners’ patience for almost two hours. Black on white (in Springer lecture notes) it probably takes about 400, 500 pages. A gripping example of how our thirst for knowledge and discovery indulges itself more and more in a logical delirium far removed from life, while life itself is going to Hell in a thousand ways and is under the threat of final extermination. High time to change our course!”
暑假倒是想学学平展上同调的基本理论（可能参考扶磊老师的Etale Cohomology Theory，参考一些其他书，例如Conrad’s notes, Lombardo & Maffe’s notes,The Stacks project和Freitag的Etale Cohomology and Weil Conjecture），这我发现可能不光算术几何，在代数几何里也很有用，就当打基础了，年轻人还是多学一点吧，怕过两年没时间看这种大书了。
然后有了平展上同调基础和相交理论，我们就可以学一点Chow motives，就看一本Jacob P. Murre, Jan Nagel和Chris A. M. Peters写的一百来页的小书Lectures on the Theory of Pure Motives。
当然其他感兴趣的内容还是有不少的，例如K3曲面的专题，我发现D. Huybrechts的那本书很适合我读，但还是等之后再说（茫茫无期.jpg）。另外，高维的代数几何，例如Positivity，Birational Geometry和MMP，Moduli Space of Higher Dimensional Varities/bundles and sheaves之类的还有代数群之类的等研究生入学之后听取导师的指导再说吧，现在主要还是打好基础（例如相交理论和代数曲面）。至于更多的，比如之前剩余的Fourier Mukai变换，等什么时候心血来潮再看吧。也希望有同学能一起学习，互相交流进步最快。